
\prob{004C}{根式方程II}

求关于$x$的方程

\[ 5x^2 + x - x\sqrt{5x^2 - 1} - 2 = 0 \]

的实数根。
\problabels{yellow/代数, green/方程相关问题}

\ans{$x = \pm\sfrac{\sqrt{10}}5$}

\subsection{因式分解}

基本思路：因式分解，然后分别求解。

将原式左边因式分解得

\begin{align*}
  & 5x^2 + x - x\sqrt{5x^2 - 1} - 2 \\
  ={}& (5x^2 - 1) - x\sqrt{5x^2 - 1} + \sqrt{5x^2 - 1} \\
    &- \sqrt{5x^2 - 1} + x - 1 \\
  ={}& \sqrt{5x^2 - 1}(\sqrt{5x^2 - 1} - x + 1) \\
    &- (\sqrt{5x^2 - 1} - x + 1) \\
  ={}& (\sqrt{5x^2 - 1} - 1)(\sqrt{5x^2 - 1} - x + 1) \\
\end{align*}

故$\sqrt{5x^2 - 1} - 1 = 0$或$\sqrt{5x^2 - 1} - x + 1 = 0$。

当$\sqrt{5x^2 - 1} - 1 = 0$时，

\begin{align*}
  \sqrt{5x^2 - 1} &= 1 \\
  5x^2 - 1 &= 1 \\
  x^2 &= \frac25 \\
  x &= \pm\frac{\sqrt{10}}5 \\
\end{align*}

经检验，$x = \pm\sfrac{\sqrt{10}}5$为原方程根；当$\sqrt{5x^2 - 1} - x + 1 = 0$时，

\begin{align*}
  \sqrt{5x^2 - 1} &= x - 1 \\
  5x^2 - 1 &= x^2 - 2x + 1 \\
  x &= -1 \text{或} \frac12 \\
\end{align*}

经检验，$x = -1$或$x = \sfrac12$均为原方程余根。

综上，原方程实数根为$x = \pm\sfrac{\sqrt{10}}5$。
